Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Ahora vamos a ver las transformadas de Laplace más usuales: 

Como son cocientes de polinomios de s, podemos representarlos por polos y ceros.

Así, podemos clasificar dos tipos de circuitos:

Estables: Los circuitos estables son aquellos cuyos polos se sitúan únicamente en el semiplano izquierdo del diagrama o en el eje de ordenadas. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria se desvanece pasado un intervalo pequeño de tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales decrecientes cuyo exponente corresponde a la forma -at, donde a es el punto donde se encuentran (-a,0).
• Polos imaginarios complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales monótonas. 
• Polos complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales decrecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo decrecimiento corresponde a una exponencial del tipo -at, donde a es la parte real del polo.
• Polo en el (0,0): Según la transformada inversa de Laplace obtenemos la función escalón.

Inestables: Los circuitos inestables son aquellos cuyos polos se encuentran en el semiplano derecho del diagrama. Basta con que uno de los polos esté en este semiplano, para que el circuito sea inestable. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria aumenta a medida que va pasando el tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales crecientes cuyo exponente corresponde a la forma at, donde a es el punto donde se encuentran (a,0).
• Polos complejos conjugados:Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales crecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo crecimiento corresponde a una exponencial del tipo at, donde a es la parte real del polo.

Fourier

Para seguir con Fourier vamos a determinar una nueva forma de calcular tensiones, pero en microvoltios. VdBmicrov=20log(v/10^-6), y donde la ganancia es GdB=20log(Vo/Vg)

Para encontrar la respuesta en la salida del circuito mediante las representaciones espectrales tenemos que realizar la representación espectral de la entrada, calcular el trazado de Bode del circuito, calcular el espectro de Vo multiplicando el valor del espectro de entrada a cierta frecuencia por el modulo de H(s) a esa frecuencia.

Otra forma mucho más rápida es teniendo el espectro de la tensión de entrada en dBmicroVoltios, entonces el espectro de salida es simplemente sumando el espectro de entrada más la ganancia en dB a esa frecuencia.

Potencia a través de los armónicos

Para calcular la potencia de una señal a partir de los armónicos hay que sumar las diferentes potencias calculadas para cada armónico y la continua.

Fourier

Fourier nos permite descomponer cualquier función periodica a partir de sumas de senos y cosenos. Consta de una componente constante y un sumatorio de coseno formados por una constante y una frecuencia llamada n. Así, la representación circuital de una función periódica no senoidal esta formada por una fuente ideal de tension Co y tantos generadores de funciones términos queramos coger. El primer generador tiene la misma frecuencia que la excitación, el segundo una frecuencia doble, y así.

En el espectro de una excitación en serie de Fourier, representamos las amplitudes de los espectros de la excitación en función de la frecuencia.

Hay señales, como las discontinuas, en las que tendremos que usar más múltiplos de la frecuencia para reducir el error, en cambio en otras, como una señal triangular, como se parece al coseno, usaremos menos porque el error es menor.

Si ponemos el caso de la senoide, solo necesitaremos una frecuencia, por tanto, necesitaremos un pico de resonancia en el harmónico fundamental

Bode

Un nuevo modelo es cuando en H(s) tenemos un polinomio de segundo orden en el denominador, como H(s) = ωo² / (s² + 2·ρ·ωo·s + ωo²). Entonces debemos encontrar las raices del polinomio, que dependen básicamente de ρ.Si ρ>1 obtenemos dos polos en la parte negativa del eje real, si ρ=1, tenemos solo un polo negativo, si 0<ρ<1 tenemos dos polos con parte real e imaginaria, y si ρ=0, tenemos dos polos con solo parte compleja. 

En el momento que realizamos el trazado de Bode observamos que resulta una representación similar a la de los polinomios de primer orden pero en vez de una pendiente que decrece a razón de -20dB/dec, decrece a -40dB/dec.

Aqui se produce un error considerable, teniendo en cuenta que la ganancia en wo es Gdbwo=-20log2ρ.

Cuando ρ<0,5, si representamos la función real, observamos una especie de pico a una frecuencia concreta. A este pico que se produce, se le llama pico de resonancia, ya que a una frecuencia concreta, la frecuencia de corte, su amplificación es máxima. 

Calcularemos el ancho de banda para que no caiga por debajo de los 3db, solo si ρ<0,1. Entonces BW=2ρwo, y las frecuencias superior e inferior son, respectivamente.

wcs=wo+2ρ

wci=wo-2ρ

Para definir la calidad y precisión de un pico de resonancia hemos definido el factor de calidad Q, que se calcula Q=wo/BW.

Bode

Abrimos el concepto de polos y zeros de una función de red, que son las raíces que anulan el numerador y el denominador. A las raíces del denominador las llamamos ceros y a las del denominador polos.

Aqui introducimos una nueva forma de representar la amplficiación de un circuito usando el método de Bode, que representa el comportamiento del circuito como 20log|H(s)|. Así representamos la ganancia de dB en una escala logarítimica, con frecuencias separadas por factores de 10, es decir, décadas, donde el número de décadas=log(f2/f1). Tambien las podemos representar por octavas con factor 2. nºdecadas=log2(f2/f1). Y nºdecadas=nºoctavas*log(2).

Así, la representación por Bode se trata de particularizar para w=0 y w=infinito.

Analizamos varios casos, como cuando H(s)=k/s

cuando h(s)=k*s

cuando H(s) = 1 / (s/ωc + 1)

Es bastante efectivo la representación por bode porque en el punto de máximo error, la gráfica real solo se separa 3 dB.

Transformador

Como el tipo de transformador que hemos visto antes es ideal, y por tanto inexistente, tenemos que buscar algo que se le asemeje suficiente. La n de un transformador normal se puede calcular como n=raiz(L1/L2)=N1/N2, y esta tiene una bobina conectada en paralelo.

Muchas veces, para eliminar esta bobina L, tenemos que hacer la impedancia de esta muy grande para cualquier f, y como L=KN1^2, o bien hacemos muchas vueltas o elegimos una k muy grande, y como esta es una medida estándar, elegimos mas espiras.

Si lo que queremos es extraer la maxima potencia cuando Rg es diferente a Rl con un transformador, tenemos que añadir un condensador para eliminar a este y la bobina a una cierta frecuencia. Es decir, extraemos la potencia máxima conjugando las partes imaginarias

Para transportar corriente, las fuentes continuas no valen porque se pierde mucha intensidad. En cambio, en fuente alterna circula poca corriente a partir de transformadores (y mucha tensión).

Decibelios y Transformador ideal

Hoy se nos presenta otra forma de medir potencias: los decibelios (dB), y una medida muy común en telecomunicaciones, los dBm.

Los dBm es una unidad parecida a los dB pero en vez de relacionar la potencia de salida con la de entrada, relaciona cualquier potencia con un factor 10^-3.

Su fórmula es P[dbm] = 10log₁₀ (P[w]/10^-3).

La ganancia relaciona los dbm de una potencia con otra, y su fórmula es Gdb=10log(P2[w]/10^-3/Pin[w]/10^-3)

Así tenemos la expresión de Pl(dBm)=G(dB)+Pin(dBm).

Vemos que para que se transmita la máxima potencia a un resistor Rl ha de ser igual a Rg, lo que hace que su potencia sea Plmax=Vg^2/(8*Rg).

¿Que podamos hacer para que se transfiera la máxima potencia con Rl diferente a Rg?
Aqui entra el concepto de Transferencia ideal o Convertor positivo de impedancias.

La teoría del generador ideal consiste en un elemento que dada una excitación en la entrada te de una excitación en la salida multiplicada por un factor n, que corresponde al numero de espiras, y que dada una intensidad de entrada te de en la salida, una intensidad cambiada de signo y dividida por el factor n. 

V1=nV2   ;  nI1=-I2

Si conectamos un bipolo a la salida del CPI lo que ve el circuito de la entrada es este bipolo de impedancia ZL multiplicado por el factor n^2. Particularizando en algunos elementos, el condensador se ve en la entrada como una capacitancia de valor C/(n^2), la bobina se ve como una inductancia de valor L*(n^2)y la resistencia se ve como un resistor de valor R*(n^2).

Para solucionar este tipo de circuitos, buscamos el bipolo equivalente de la salida, lo conectamos al circuito de la entrada multiplicado por n^2, buscamos la tensión de ese circuito, y al final, deshacemos el cambio y encontramos Vo dividiendo por n.

Comparadores y potencia

Hoy tenemos a los comparadores como nuevo elemento, AO que no trabajan en zona de validez sino en las zonas de saturación.

El comportamiento del AO, sin retroalimentación, se puede describir perfectamente a partir de la siguiente ecuación Vo=Valim·sign(V₊ - V_-), donde la función Signo vale 1 cuando la diferencia es positiva y vale -1 cuando la diferencia es negativa.

Después se nos presenta el concepto de potencia. La potencia eléctrica es la relación de paso de energía de un flujo por unidad de tiempo; es decir, la cantidad de energía entregada o absorbida por un elemento en un tiempo determinado. La unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el vatio (Watt), y se calcula multiplicando voltaje por intensidad.

Ahora queremos saber lo que es la potencia media, que se calcula con el valor medio o eficaz del voltaje. Primero, el valor medio de una excitación es un método que a partir de una excitación que no sea bipolar acotada por un intervalo de tiempo, la representación de esta excitación a partir de una única tensión continua.

Como el valor medio falla para las v bipolares con simetria, utilizamos el valor eficaz o valor cuadrático medio.

Y la potencia media de una excitacion bipolar acotada es: 

¿Y si hay dos fuentes generadores con diferente frecuencia? Fácil, aplicamos superposición.

Empezamos la clase con un nuevo concepto, las conexiones en cascada, que es básicamente la conexión de varios operacionales en serie, multiplicándose sus respectivas funciones de red.

Así seguimos sacando modelos de circuitos, como el integrador, en el que obtenemos como respuesta la integral de la entrada, el derivador, en el que obtenemos la derivada de la entrada, el amplificador no inversor, que cumple que Vo=(1+r2/r1)*Vg, el inversor, que ya lo explicamos antes, el restador, donde Vo=V2-V1, en el que a una frecuencia de mas de 1Mhz ya no funcionan correctamente.

Además, algunos circuitos presentan una resistencia de entrada infinita, es decir, que no hay resistencia entre la excitación de entrada y el terminal de entrada no inversor, otros, presentan una resistencia de entrada finita, que son aquellos que presentan una resistencia entre la excitación de entrada y el terminal de entrada no inversor. Es necesario tener un cierto cuidado en el momento de conectar en cascada este último tipo, ya que al presentar una resistencia de entrada, modifican el KCL del nodo de conexión entre circuitos. Por eso, hay un modelo, llamado Seguidor de Tensión, que consiste en un circuito de Amplificación=1 que no altera el corriente del KCL de conexión y permite una óptima interconexión.

Además, se nos presenta el elemento llamado potenciómetro, componente que permite ajustar su valor de resistencia a partir de una constante alfa que va desde 0 a 1.

Asi, podemos hacer bloques funcionales de AO y obtener así la salida que queramos

Hoy pasamos a analizar otro tipo de elemento, la fuente controlada de tensión, que a partir de la tensión de un nodo especifico, multiplicar su tensión por una constante k.
Después de practicar con unos cuantos ejercicios pasamos a ver un circuito muy especial, llamado oscilador sinusoidal que para una k=3, ofrece una excitación de salida sin tener ninguna señal de entrada.

Además, relacionado con la fuente controlada, tenemos otro elemento, el amplificador operacional, que permite a partir de la tensión de un nodo especifico y una fuente controlada, amplificar una señal.
El Amplificador operacional (AO) es un circuito electrónico formado por una gran cantidad de transistores y que tiene dos canales de entrada y uno de salida.
Su modelaje en un circuito es a partir de un triángulo con cinco patas, de las cuales, dos son los terminales de entrada, el inversor y el no inversor, dos más son los terminales de polarización, el positivo y el negativo, y el restante es el terminal de salida.
El amplificador operacional tiene algunas características como que la corriente en los terminales de entrada es cero, lo que nos garantiza una impedancia muy alta, que la tensión de salida (Vo) es independiente de la Resistencia que montemos y que el voltaje de salida (Vo) no es lineal con el voltaje de entrada.

En cierta medida parece que no sea un modelo lineal pero resulta que hay una recta que une los dos tramos no lineales, una recta de pendiente A*10^5, en el que sus limites son los denominados zona de validez del operacional, que se cumple cuando la salida es menor a la alimentación. En la zona derecha de esta zona de validez se cumple la zona de saturación positiva, en donde la salida es la alimentación y según el signo que tenga la entrada positiva menos la negativa. En la zona izquierda esta la zona de saturación negativa que es análoga a la positiva

Así, como no conseguimos amplificar, probamos de realimentar el operacional, conectando la salida con la entrada, y conseguimos nuestro objetivo. Pero la recta que caracteriza Vo, corta tres veces sobre la gráfica que hemos obtenido del operacional. Entonces pensamos en expresar esta recta con una pendiente negativa y así solo corta una vez

Además, aplicamos el concepto de cortocircuito virtual, en el que consideramos Ao infinito, y por lo tanto V+=V-.

Hacemos un ejercicio con el que sacamos un modelo de amplificador, el inversor, en el que Vo=-Vin*r2/r1.

Después de unos cuantos ejemplos de función de red, pasamos a mas teoria. Cuando acabamos de analizar un circuito, tenemos que ver si cumple la función de red a través de los circuitos asimptóticos, que son dos, poniendo la w=0 i w=∞.

Hoy pasamos al análisis sistemático de nodos, necesitamos las variables generadoras, que son las tensiones nodales, y resolver así el sistema de ecuaciones linealmente independientes.

Primero elegimos un nodo de referencia. Después asignamos nombre a todas las tensiones nodales menos a la de referencia. y finalmente, aplicamos el kcl en los n-1 nodo en función de las tensiones nodales, expresando las intensidades en función de estas.

Aqui seguimos con ejercicios de función de red, y pasamos a analizar un circuito básico para cualquier experto, el filtro pasobajo. Es un circuito con un condensador en serie con una resistencia, que a frecuencias muy altas disminuye la función de red a valores cercanos al 0, lo que hace que no deja pasar las pulsaciones altas.

Luego pasamos a analizar el concepto de Resistencia Equivalente, que ya conocíamos de los circuitos resistivos. De este modo, podemos sustituir cualquier circuito, con elementos lineales y a partir de su modelo transformado fasorial, en un equivalente compuesto de una resistencia, parte real, y una reactancia, parte imaginaria. A partir de método sale un teorema que dice: “A partir de cualquier bipolo funcionando a una frecuencia concreta, se puede obtener un bipolo equivalente de la forma z=a+jb”. 
Por lo tanto, podemos expresar el circuito completo a partir de una resistencia, si solo hay parte real, o combinada con un condensador, si la parte imaginaria es negativa, o una bobina, si sucede lo contrario. Del mismo modo que en los circuitos resistivos podemos hablar de conductancia del circuito G(w), definida como la inversa de la Resistencia equivalente, en los circuitos RPS, también podemos hablar de ella, pero en este caso la denotaremos con la letra Y(w) y la llamaremos Admitancia. Y análogamente, hablamos de conductancia G(w), a la parte real, y susceptancia B(w), a la parte imaginaria.

Además, para evitar errores cuando manejemos la funcion de red, cambiaremos la wj por una s.

Otro dia de clase de circuitos, en el que nos enseñan que si una bobina esta en paralelo a un condensador, a una cierta frecuencia w=1/raiz(LC), las impedancias de estas se van por tener una impedancia de valor infinito.
Aqui pasamos a la definicion de funcion de red. Si prestamos atención, los circuitos resistivos dan como respuesta, una tensión que se deduce a partir de una constante multiplicada por la tensión de entrada: Vout=K·Vin. Del mismo modo, los circuitos en RPS dan como respuesta una tensión sinusoidal que se puede deducir a partir de una constante, pero en este caso no se trata de una constante K, sino de una constante que puede variar la amplitud y el desfase de la tensión de entrada, por eso la llamaremos función del circuito o función de red (H(jw)).

Aquí empieza la asignatura de circuitos lineales. En esta asignatura estudiaremos circuitos que tienen funciones lineales, circuitos pequeños que cumplan Kirchoff

Tenemos dos maneras de expresar un circuito: según el esquema circuital, que es un dibujo siguiendo ciertas características del circuito, con sus elementos circuitales, y el modelo circuital, que son sistemas de ecuaciones. Para dibujar el esquema circuital se procede a una biblioteca de elementos circuitales minimalistas y regida por funciones lineales. Empecemos con ellas.

El primer elemento es el resistor, cuyas unidades son los ohmios

Después viene el condensador, que tiene de unidades el faradai. Para calcular su intensidad se multiplica sus faradais por la derivada del voltaje.

Después viene el inductor, o bobina. Para calcular su voltaje se multiplica su capacidad por la derivada de la intensidad.

Luego vienen las fuentes de tensión que hay de dos tipos, dependientes e independientes

Aquí se acaba la biblioteca.

Después todo esto se aplica a un esquema circuital y se calculan sus variables con el modelo, a través de un sistema de ecuaciones lineales diferencial (KVL o KCL).

Por ultimo si tenemos circuitos en régimen permanente sinusoidal podemos aplicar un fasor, y transformar nuestro circuito en otro, a través de sus impedancias.
Un circuito esta en cuadratura cuando la amplitud de Vo e I es la misma pero desfasados pi/2 entre ellos.