Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Ahora vamos a ver las transformadas de Laplace más usuales: 

Como son cocientes de polinomios de s, podemos representarlos por polos y ceros.

Así, podemos clasificar dos tipos de circuitos:

Estables: Los circuitos estables son aquellos cuyos polos se sitúan únicamente en el semiplano izquierdo del diagrama o en el eje de ordenadas. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria se desvanece pasado un intervalo pequeño de tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales decrecientes cuyo exponente corresponde a la forma -at, donde a es el punto donde se encuentran (-a,0).
• Polos imaginarios complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales monótonas. 
• Polos complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales decrecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo decrecimiento corresponde a una exponencial del tipo -at, donde a es la parte real del polo.
• Polo en el (0,0): Según la transformada inversa de Laplace obtenemos la función escalón.

Inestables: Los circuitos inestables son aquellos cuyos polos se encuentran en el semiplano derecho del diagrama. Basta con que uno de los polos esté en este semiplano, para que el circuito sea inestable. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria aumenta a medida que va pasando el tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales crecientes cuyo exponente corresponde a la forma at, donde a es el punto donde se encuentran (a,0).
• Polos complejos conjugados:Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales crecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo crecimiento corresponde a una exponencial del tipo at, donde a es la parte real del polo.