Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Ahora vamos a ver las transformadas de Laplace más usuales: 

Como son cocientes de polinomios de s, podemos representarlos por polos y ceros.

Así, podemos clasificar dos tipos de circuitos:

Estables: Los circuitos estables son aquellos cuyos polos se sitúan únicamente en el semiplano izquierdo del diagrama o en el eje de ordenadas. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria se desvanece pasado un intervalo pequeño de tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales decrecientes cuyo exponente corresponde a la forma -at, donde a es el punto donde se encuentran (-a,0).
• Polos imaginarios complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales monótonas. 
• Polos complejos conjugados: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales decrecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo decrecimiento corresponde a una exponencial del tipo -at, donde a es la parte real del polo.
• Polo en el (0,0): Según la transformada inversa de Laplace obtenemos la función escalón.

Inestables: Los circuitos inestables son aquellos cuyos polos se encuentran en el semiplano derecho del diagrama. Basta con que uno de los polos esté en este semiplano, para que el circuito sea inestable. La característica principal de estos circuitos es que su respuesta transitoria aumenta a medida que va pasando el tiempo. En este rango podemos encontrar los siguientes tipos de polos:

• Polos reales negativos: Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones exponenciales crecientes cuyo exponente corresponde a la forma at, donde a es el punto donde se encuentran (a,0).
• Polos complejos conjugados:Según la transformada inversa de Laplace obtenemos funciones sinusoidales crecientes cuya frecuencia corresponde a la parte imaginaria del polo y cuyo crecimiento corresponde a una exponencial del tipo at, donde a es la parte real del polo.

Fourier

Para seguir con Fourier vamos a determinar una nueva forma de calcular tensiones, pero en microvoltios. VdBmicrov=20log(v/10^-6), y donde la ganancia es GdB=20log(Vo/Vg)

Para encontrar la respuesta en la salida del circuito mediante las representaciones espectrales tenemos que realizar la representación espectral de la entrada, calcular el trazado de Bode del circuito, calcular el espectro de Vo multiplicando el valor del espectro de entrada a cierta frecuencia por el modulo de H(s) a esa frecuencia.

Otra forma mucho más rápida es teniendo el espectro de la tensión de entrada en dBmicroVoltios, entonces el espectro de salida es simplemente sumando el espectro de entrada más la ganancia en dB a esa frecuencia.

Potencia a través de los armónicos

Para calcular la potencia de una señal a partir de los armónicos hay que sumar las diferentes potencias calculadas para cada armónico y la continua.

Fourier

Fourier nos permite descomponer cualquier función periodica a partir de sumas de senos y cosenos. Consta de una componente constante y un sumatorio de coseno formados por una constante y una frecuencia llamada n. Así, la representación circuital de una función periódica no senoidal esta formada por una fuente ideal de tension Co y tantos generadores de funciones términos queramos coger. El primer generador tiene la misma frecuencia que la excitación, el segundo una frecuencia doble, y así.

En el espectro de una excitación en serie de Fourier, representamos las amplitudes de los espectros de la excitación en función de la frecuencia.

Hay señales, como las discontinuas, en las que tendremos que usar más múltiplos de la frecuencia para reducir el error, en cambio en otras, como una señal triangular, como se parece al coseno, usaremos menos porque el error es menor.

Si ponemos el caso de la senoide, solo necesitaremos una frecuencia, por tanto, necesitaremos un pico de resonancia en el harmónico fundamental

Bode

Un nuevo modelo es cuando en H(s) tenemos un polinomio de segundo orden en el denominador, como H(s) = ωo² / (s² + 2·ρ·ωo·s + ωo²). Entonces debemos encontrar las raices del polinomio, que dependen básicamente de ρ.Si ρ>1 obtenemos dos polos en la parte negativa del eje real, si ρ=1, tenemos solo un polo negativo, si 0<ρ<1 tenemos dos polos con parte real e imaginaria, y si ρ=0, tenemos dos polos con solo parte compleja. 

En el momento que realizamos el trazado de Bode observamos que resulta una representación similar a la de los polinomios de primer orden pero en vez de una pendiente que decrece a razón de -20dB/dec, decrece a -40dB/dec.

Aqui se produce un error considerable, teniendo en cuenta que la ganancia en wo es Gdbwo=-20log2ρ.

Cuando ρ<0,5, si representamos la función real, observamos una especie de pico a una frecuencia concreta. A este pico que se produce, se le llama pico de resonancia, ya que a una frecuencia concreta, la frecuencia de corte, su amplificación es máxima. 

Calcularemos el ancho de banda para que no caiga por debajo de los 3db, solo si ρ<0,1. Entonces BW=2ρwo, y las frecuencias superior e inferior son, respectivamente.

wcs=wo+2ρ

wci=wo-2ρ

Para definir la calidad y precisión de un pico de resonancia hemos definido el factor de calidad Q, que se calcula Q=wo/BW.

Bode

Abrimos el concepto de polos y zeros de una función de red, que son las raíces que anulan el numerador y el denominador. A las raíces del denominador las llamamos ceros y a las del denominador polos.

Aqui introducimos una nueva forma de representar la amplficiación de un circuito usando el método de Bode, que representa el comportamiento del circuito como 20log|H(s)|. Así representamos la ganancia de dB en una escala logarítimica, con frecuencias separadas por factores de 10, es decir, décadas, donde el número de décadas=log(f2/f1). Tambien las podemos representar por octavas con factor 2. nºdecadas=log2(f2/f1). Y nºdecadas=nºoctavas*log(2).

Así, la representación por Bode se trata de particularizar para w=0 y w=infinito.

Analizamos varios casos, como cuando H(s)=k/s

cuando h(s)=k*s

cuando H(s) = 1 / (s/ωc + 1)

Es bastante efectivo la representación por bode porque en el punto de máximo error, la gráfica real solo se separa 3 dB.

Transformador

Como el tipo de transformador que hemos visto antes es ideal, y por tanto inexistente, tenemos que buscar algo que se le asemeje suficiente. La n de un transformador normal se puede calcular como n=raiz(L1/L2)=N1/N2, y esta tiene una bobina conectada en paralelo.

Muchas veces, para eliminar esta bobina L, tenemos que hacer la impedancia de esta muy grande para cualquier f, y como L=KN1^2, o bien hacemos muchas vueltas o elegimos una k muy grande, y como esta es una medida estándar, elegimos mas espiras.

Si lo que queremos es extraer la maxima potencia cuando Rg es diferente a Rl con un transformador, tenemos que añadir un condensador para eliminar a este y la bobina a una cierta frecuencia. Es decir, extraemos la potencia máxima conjugando las partes imaginarias

Para transportar corriente, las fuentes continuas no valen porque se pierde mucha intensidad. En cambio, en fuente alterna circula poca corriente a partir de transformadores (y mucha tensión).

Decibelios y Transformador ideal

Hoy se nos presenta otra forma de medir potencias: los decibelios (dB), y una medida muy común en telecomunicaciones, los dBm.

Los dBm es una unidad parecida a los dB pero en vez de relacionar la potencia de salida con la de entrada, relaciona cualquier potencia con un factor 10^-3.

Su fórmula es P[dbm] = 10log₁₀ (P[w]/10^-3).

La ganancia relaciona los dbm de una potencia con otra, y su fórmula es Gdb=10log(P2[w]/10^-3/Pin[w]/10^-3)

Así tenemos la expresión de Pl(dBm)=G(dB)+Pin(dBm).

Vemos que para que se transmita la máxima potencia a un resistor Rl ha de ser igual a Rg, lo que hace que su potencia sea Plmax=Vg^2/(8*Rg).

¿Que podamos hacer para que se transfiera la máxima potencia con Rl diferente a Rg?
Aqui entra el concepto de Transferencia ideal o Convertor positivo de impedancias.

La teoría del generador ideal consiste en un elemento que dada una excitación en la entrada te de una excitación en la salida multiplicada por un factor n, que corresponde al numero de espiras, y que dada una intensidad de entrada te de en la salida, una intensidad cambiada de signo y dividida por el factor n. 

V1=nV2   ;  nI1=-I2

Si conectamos un bipolo a la salida del CPI lo que ve el circuito de la entrada es este bipolo de impedancia ZL multiplicado por el factor n^2. Particularizando en algunos elementos, el condensador se ve en la entrada como una capacitancia de valor C/(n^2), la bobina se ve como una inductancia de valor L*(n^2)y la resistencia se ve como un resistor de valor R*(n^2).

Para solucionar este tipo de circuitos, buscamos el bipolo equivalente de la salida, lo conectamos al circuito de la entrada multiplicado por n^2, buscamos la tensión de ese circuito, y al final, deshacemos el cambio y encontramos Vo dividiendo por n.